Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen
Bei ganzrationalen Funktionen stellt der Funktionswert (y) eine Formel dar, die sich ausschließlich aus der Addition, Subtraktion und Multiplikation einer Variablen (in der Regel x) und Zahlen zusammensetzt. Dabei weist die Variable x stets eine natürliche Zahl als Exponenten auf.
Ein Beispiel für eine ganzrationale Funktion ist die Funktion f(x) = 2x3 - 4x2 + x + 5. Hier wird deutlich, dass x unterschiedliche Exponenten aufweist (3, 2 und 1) und mit verschiedenen Zahlen (2, -4 und 1) multipliziert wird. Abschließend werden all diese Teile addiert oder subtrahiert, um den Wert von f(x) zu ermitteln.
Solche mathematischen Ausdrücke, die aus einer Vielzahl von Teilen bestehen und durch Addition oder Subtraktion miteinander verbunden sind, werden als Polynome bezeichnet. Jeder einzelne dieser Teile des Polynoms wird als Term bezeichnet. Polynome beinhalten keine Wurzeln, Bruchterme oder negative Exponenten in den Termen.
Ganzrationale Funktionen stellen somit eine spezielle Klasse von Funktionen dar, die mithilfe von Polynomen dargestellt werden können. Dies impliziert, dass jede ganzrationale Funktion in der Form
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
ausgedrückt werden kann. Hierbei gibt n den Grad des Polynoms wieder.
Das Diagramm einer ganzrationalen Funktion wird durch ihren Grad sowie ihre Koeffizienten beeinflusst, ist jedoch in jedem Fall kontinuierlich. Folglich weist es keinerlei Lücken oder Sprünge auf.
Die Kurve kann je nach den Koeffizienten der Funktion verschiedenartige Gestalten annehmen. Wenn der Grad der Funktion gerade ist und der führende Koeffizient einen positiven Wert hat, weist die Kurve im mittleren Bereich des Diagramms die Form einer nach oben geöffneten Parabel auf. Ist der führende Koeffizient hingegen negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
Wenn der Grad der Funktion ungerade ist, existiert mindestens ein Wendepunkt und es sind eine Vielzahl von Formen denkbar. Wenn der führende Koeffizient positiv ist, dann weist die Kurve einen steigenden sowie einen fallenden Abschnitt auf, die sich um den Wendepunkt herum krümmen. Bei einem negativen führenden Koeffizienten verläuft die Kurve zunächst absteigend und anschließend aufsteigend um den Wendepunkt.
Darüber hinaus können im Schaubild einer ganzrationalen Funktion noch Nullstellen, Extremwerte oder horizontale Asymptoten auftreten, die von den Koeffizienten und dem Grad der Funktion abhängen. Ganzrationale Funktionen eignen sich aus diesem Grund außerordentlich gut für eine Kurvendiskussion, also für die systematische Untersuchung von Funktionen.
Die Ableitungen von ganzrationalen Funktionen lassen sich berechnen, indem man den Exponenten jedes Terms im Polynom um 1 reduziert und den Koeffizienten des jeweiligen Terms mit dem neuen Exponenten multipliziert. Mithilfe der Ableitungen können die Steigungen und Krümmungen der Kurve bestimmt und somit die lokalen Extremstellen sowie Wendepunkte der Funktion ermittelt werden.
Die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen können durch Polynomdivision oder durch Anwendung des vieta'schen Wurzelsatzes gefunden werden.